b943: 複數 の 指對數
標籤 : 數學 複數
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最近更新 : 2018-04-11 10:28

內容


 複數可以表示成$\color{black}{\space a+b\thinspace i\space}$的形式$\color{black}{\space(a,b\in\Bbb R)}$,
 如果把複數$\color{black}{\space a+b\thinspace i\space}$對應到座標平面上的點$\color{black}{\space(a,b)}$,
 可以發現複數與座標平面上的點有一對一的性質,
 因此在平面上的點$\color{black}{\space(a,b)}$可以代表複數$\color{black}{\space a+b\thinspace i\space}$,
 例如:點$\color{black}{\space(3,4)}$可以代表複數$\color{black}{\space 3+4\thinspace i\space}$。


 複數$\color{black}{\space z=a+b\thinspace i\space}$可對應至複數平面點$\color{black}{\space\small P\normalsize\thinspace(3,4)}$,
 令$\color{black}{\space\small\overline{OP}\normalsize=r\space}$且$\color{black}{\space\small\overline{OP}\normalsize\space}$為有向角$\color{black}{\space\theta\space}$的終邊,
 則$\color{black}{\space r=\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize,\space\theta=\arctan\big(\frac{b}{a}\big),\space a=r\thinspace\cos\theta,\space b=r\thinspace\sin\theta\space}$,
 因此$\color{black}{\space z=a+b\thinspace i=r\thinspace(\cos\theta+i\thinspace\sin\theta)\space}$。


 根據泰勒展開式可得,
 $\color{black}{e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots}$
 $\color{black}{\sin x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots}$
 $\color{black}{\cos x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots}$
 所以,
 $\color{black}{e^{ix}=\displaystyle1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+\frac{(ix)^6}{6!}+\frac{(ix)^7}{7!}+\cdots}$
 $\color{transparent}{e^{ix}}\color{black}{=\displaystyle1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{ix^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{ix^7}{7!}+\cdots}$
 $\color{transparent}{e^{ix}}\color{black}{=\displaystyle\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\right)+\thinspace i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\right)}$
 $\color{transparent}{e^{ix}}\color{black}{=\cos x+i\thinspace\sin x}$
 (這同時也是著名的歐拉恆等式的由來$\color{black}{\space e^{i\pi }+1=(\cos\pi+i\thinspace\sin\pi)+1=-1+0+1=0\space}$)
 故$\color{black}{\space z=a+b\thinspace i=r\thinspace(\cos\theta+i\thinspace\sin\theta)=re^{i\theta}=\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize\cdot e^{i\arctan\big(\large\frac{b}{a}\normalsize\big)}}$


 由上述的公式,
 我們可以對複數的指數進行定義:
 $\color{black}{(a+b\thinspace i)^{(c+d\hspace{2px}i)}=\Big(\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize\cdot e^{i\arctan\big(\frac{b}{a}\big)}\Big)^{(c+d\hspace{2px}i)}}$
 $\color{transparent}{(a+b\thinspace i)^{(c+d\hspace{2px}i)}}\color{black}{=\small\sqrt{a^2+b^2}^{\space(c+d\hspace{2px}i)}\normalsize\cdot e^{(c+d\hspace{2px}i)\hspace{1px}i\arctan\big(\frac{b}{a}\big)}}$
 $\color{transparent}{(a+b\thinspace i)^{(c+d\hspace{2px}i)}}\color{black}{=\small\sqrt{a^2+b^2}^{\space c}\normalsize\cdot\small\sqrt{a^2+b^2}^{\space d\hspace{1px}i}\normalsize\cdot e^{c\hspace{1.5px}i\arctan\big(\frac{b}{a}\big)-\hspace{1.5px}d\arctan\big(\frac{b}{a}\big)}}$
 $\color{transparent}{(a+b\thinspace i)^{(c+d\hspace{2px}i)}}\color{black}{=\small\sqrt{a^2+b^2}^{\space c}\normalsize\cdot e^{\space d\hspace{1px}i\ln(\sqrt{a^2+b^2}\space)}\cdot e^{c\hspace{1.5px}i\arctan\big(\frac{b}{a}\big)}\cdot e^{-d\arctan\big(\frac{b}{a}\big)}}$
 $\color{transparent}{(a+b\thinspace i)^{(c+d\hspace{2px}i)}}\color{black}{=\displaystyle\frac{\small\sqrt{a^2+b^2}^{\space c}\normalsize}{e^{d\arctan\big(\frac{b}{a}\big)}}\textstyle\cdot e^{i\left(\space d\ln(\sqrt{a^2+b^2}\space)+\hspace{1.5px}c\arctan\big(\frac{b}{a}\big)\right)}}$
 $\color{transparent}{(a+b\thinspace i)^{(c+d\hspace{2px}i)}}\color{black}{=\displaystyle\frac{\small\sqrt{a^2+b^2}^{\space c}\normalsize}{e^{d\arctan\big(\frac{b}{a}\big)}}\textstyle\cdot\left[\cos\Big(d\ln(\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize\space)+c\arctan\big(\frac{b}{a}\big)\Big)+i\sin\Big(d\ln(\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize\space)+c\arctan\big(\frac{b}{a}\big)\Big)\right]}$


 我們也可以對複數的對數進行定義:
 $\color{black}{\log_{(a+b\hspace{2px}i)}(c+d\thinspace i)=\displaystyle\frac{\ln(c+d\thinspace i)}{\ln(a+b\thinspace i)}}$
 $\color{transparent}{\log_{(a+b\hspace{2px}i)}(c+d\thinspace i)}\color{black}{=\displaystyle\frac{\ln\Big(\small\sqrt{c^2+d^2}\normalsize\cdot e^{i\arctan\big(\frac{d}{c}\big)}\Big)}{\ln\Big(\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize\cdot e^{i\arctan\big(\frac{b}{a}\big)}\Big)}}$
 $\color{transparent}{\log_{(a+b\hspace{2px}i)}(c+d\thinspace i)}\color{black}{=\displaystyle\frac{\ln(\small\sqrt{c^2+d^2}\normalsize)+i\arctan\big(\frac{d}{c}\big)}{\ln(\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize)+i\arctan\big(\frac{b}{a}\big)}\space}$(同複數除法$\color{black}{\frac{a+b\thinspace i}{c+d\thinspace i}=\frac{(a+b\thinspace i)(c-d\thinspace i)}{(c+d\thinspace i)(c-d\thinspace i)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)\thinspace i}{c^2+d^2}}$)
 $\color{transparent}{\log_{(a+b\hspace{2px}i)}(c+d\thinspace i)}\color{black}{=\displaystyle\frac{\big(\ln(\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize)\ln(\small\sqrt{c^2+d^2}\normalsize)+\arctan\big(\frac{b}{a}\big)\arctan\big(\frac{d}{c}\big)\big)+\big(\ln(\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize)\arctan\big(\frac{d}{c}\big)-\ln(\small\sqrt{c^2+d^2}\normalsize)\arctan\big(\frac{b}{a}\big)\big)\thinspace i}{\ln^2(\small\sqrt{a^2+b^2}\normalsize)+\arctan^2\big(\frac{b}{a}\big)}}$

輸入說明

有多筆測資,每筆測資包含$\color{black}{\space3\space}$行。

第一行有$\color{black}{\space1\space}$個整數$\color{black}{\space K\space}$,代表操作指令,其中$\color{black}{\space K\space}$只可能是$\color{black}{\space0、1、2\space}$。
①當$\color{black}{\space K=1\space}$時,請操作以複數$\color{black}{\space z_1\space}$為底數,複數$\color{black}{\space z_2\space}$為指數的指數運算。
②當$\color{black}{\space K=2\space}$時,請操作以複數$\color{black}{\space z_1\space}$為底數,複數$\color{black}{\space z_2\space}$為真數的對數運算。
③當$\color{black}{\space K=0\space}$時,代表輸入結束,請不要對之後的數字做任何操作。

第二行有$\color{black}{\space2\space}$個實數$\color{black}{\space a、b\space}$,代表複數$\color{black}{\space z_1=a+b\thinspace i\space}$,
其中$\color{black}{\space-5\le a,b\le5\space}$。

第三行有$\color{black}{\space2\space}$個實數$\color{black}{\space c、d\space}$,代表複數$\color{black}{\space z_2=c+d\thinspace i\space}$,
其中$\color{black}{\space-5\le c,d\le5\space}$。

輸出說明

對於每筆測資請輸出一行,輸出請符合格式,並根據輸入進行計算後,依照下述條件輸出。

假設正確答案為複數$\color{black}{\space z_3=p+q\thinspace i\hspace{5px}}$:
請輸出$\color{black}{\space p\pm|q|i\space}$,請依$\color{black}{\space q\space}$的正負判斷運算子為$\color{black}{\space+\space}$或$\color{black}{\space-\space}$。
當$\color{black}{\space q=0\space}$時,請使用$\color{black}{\space+\space}$運算子。

對於輸出的所有數字,請四捨五入至小數點後$\color{black}{\space6\space}$位。
(相信我, 不看提示會後悔~~~ OωO )

範例輸入
2
2 0
3 0
1
1 -1
2 0
1
1 3
3 0
2
-1 -1
-1 -1
0
1 2
2 3
1
0 1
1 0
範例輸出
1.584963 + 0.000000i
0.000000 - 2.000000i
-26.000000 - 18.000000i
1.000000 + 0.000000i
測資資訊:
記憶體限制: 512 MB
公開 測資點#0 (10%): 1.0s , <1K
公開 測資點#1 (90%): 1.0s , <1M
提示 :

測資並沒有可以產生$\color{black}{\space INF\space}$或$\color{black}{\space NAN\space}$等等的輸出,
請各位學弟妹安心代公式唷~~~ OωO

另外公式的部分,  (←點選超連結以觀看 <math.h> 的函數~~~
由於是求點$\color{black}{\space(x,y)\space}$的$\color{black}{\space\theta\space}$,
所以請使用 atan2(y, x) 而非 atan(y/x) 唷~~~ OωO

--------------------------------------------------(我是分隔線)--------------------------------------------------

聽說 C++ 可以 #include <complex>  ... ?
聽說 Python 有 complex 型態 ... ?

-----------------------------------------------(2018/04/10更新)-----------------------------------------------

將數學式進行完全純文字化,
對數的公式更改成較為精簡(?)的公式。

By.  OwO學長

標籤:
數學 複數
出處:
板橋高中練習題 [編輯: