骨幹網路是網際網路中重要的基礎設施。骨幹網路由多台伺服器組成,彼此間以高速網路連結;

其他電腦與裝置,則透過骨幹網路連線到網際網路上。

機關、學校、公司與資料中心也經常透過建置自己的骨幹網路, 來提供內部與外部的網路服務。
骨幹網路中的伺服器通常透過不只一條的實體連線相互連結,提供妥善的分流與備援。

確保每條連線的品質,就是確保骨幹網路穩定的基本方法,

然而有效率的測試所有連線可能是相當艱鉅的任務。

假設每條直接連線都是雙向的,考慮以下的簡單方法:
「每台伺服器都有自己的唯一 ID 識別碼。每台伺服器查看所有與自己直接連線的伺
服器 ID,如對方的 ID 比自己的 ID 大,則 ID 較小的伺服器負責對此連線進行測試。」

如此一來,每條直接連線都會被測試恰好一次。然而 ID 較小又擁有較多直接連線
的伺服器可能得負擔較多的測試, 會導致測試工作的分配並不是很平均。

我們能靠重新分配伺服器的 ID,以減少(最小化)伺服器最大的負擔。

例如以下這張網路:

需要的測試如下:
伺服器 0 → {1, 4, 5}
伺服器 1 → {2, 5}
伺服器 2 → {3, 5}
伺服器 3 → {4}
伺服器 4 → {5,6}
伺服器 5 → {}
伺服器 6 → {}
伺服器 0 最多需要 3 次測試。

若 ID 經過適當地重新分配後:

需要的測試如下:
伺服器 0 → {4}
伺服器 1 → {2, 4}
伺服器 2 → {3, 5}
伺服器 3 → {5, 6}
伺服器 4 → {5,6}
伺服器 5 → {6}
伺服器 6 → {}
伺服器 1,2,3,4 最多只需要 2 次測試。

可見適當的重新分配 ID,可以使最多的連線測試次數減少。對於給定的網路關係
圖,請問重新分配 ID 後,每台伺服器最多連線測試次數可以減至多少?