您提出的問題非常好，這是理解貪心演算法核心的關鍵！證明一個貪心策略能夠得到最佳解通常需要更嚴謹的數學方法，但我們可以透過「交換論證」(Exchange Argument) 或「反證法」來理解為什麼「按結束時間最早排序」是活動選擇問題的最佳策略。

以下是一種常見的證明思路（使用交換論證）：

目標： 選擇最大數量的互不重疊活動。

貪心策略：

1. 將所有活動按照結束時間由早到晚（升序）排序。
2. 選擇排序後的第一個活動（即結束時間最早的活動）。
3. 從剩下的活動中，繼續選擇與已選活動不重疊且結束時間最早的活動，直到沒有活動可選。

證明思路（交換論證）：

假設存在一個最佳解 OPT = {o_1, o_2, ..., o_k}，其選擇了 k 個活動，並且這些活動也是按照結束時間排序的。 同時，我們使用上述貪心策略得到的解是 GREEDY = {g_1, g_2, ..., g_m}，其選擇了 m 個活動，同樣按照結束時間排序。 我們想證明 m=k (即貪心解選擇的活動數量與最佳解相同)。

1. 比較第一個活動：

   • 貪心策略選擇的第一個活動 g1​ 是所有活動中結束時間最早的。
   • 最佳解 OPT 中的第一個活動 o1​ 的結束時間必然大於或等於 g1​ 的結束時間 (因為 g1​ 是最早結束的)。
   • 這意味著 finish(g1​)≤finish(o1​)。

2. 構造一個新的最佳解：

   • 如果 g1​=o1​，那麼貪心策略的第一步與最佳解一致。
   • 如果 g1​=o1​，我們可以考慮一個新的活動集合 OPT' = {g_1, o_2, o_3, ..., o_k} (即用 g1​ 替換掉 o1​)。
     • 因為 finish(g1​)≤finish(o1​)，所以 g1​ 與 o2​ (以及後續的 o3​,...,ok​) 不重疊的條件仍然滿足（甚至更好）。如果 o1​ 和 o2​ 不重疊，那麼 g1​ 和 o2​ 也一定不重疊，因為 g1​ 結束得更早或一樣早。
     • 因此，OPT' 也是一個包含了 k 個互不重疊活動的解，所以 OPT' 也是一個最佳解。
   • 這一步證明了：總是可以找到一個最佳解，它的第一個活動與貪心策略選擇的第一個活動相同。

3. 遞迴/歸納論證：

   • 現在我們已經證明了，可以假設最佳解的第一個活動就是貪心選擇的 g1​。
   • 問題就變成了：在排除了 g1​ 以及所有與 g1​ 重疊的活動之後，如何在剩下的活動中選擇最多的互不重疊活動。
   • 這是一個規模更小的子問題，具有相同的結構。
   • 貪心策略會繼續在剩下的活動中選擇結束時間最早的 g2​。根據與步驟 2 類似的論證，我們同樣可以證明，存在一個最佳解的子集，其第二個活動是 g2​。
   • 以此類推，貪心策略選擇的每一個活動，都可以被證明是某個最佳解的一部分。

4. 結論：

   • 由於貪心策略在每一步都做出了一個「局部最優」的選擇（選擇當前可選活動中結束最早的），並且這個選擇可以被證明是通往「全局最優」路徑上的一步（即它不會排除掉得到最佳解的可能性），因此貪心策略最終得到的活動數量 m 必然等於最佳解的活動數量 k。
   • 如果貪心解得到的活動數少於最佳解，那麼在某一步，貪心選擇的活動 gi​ 會使得後續無法達到最佳解的數量，這與我們每一步都能用 gi​ 替換最佳解中對應活動 oi​ 而不影響最優性的結論相矛盾。

為什麼其他策略可能不行？

• 按開始時間最早排序： 如果選擇一個開始很早但持續時間很長的活動，可能會佔用掉很多本可以安排其他更短活動的時間。例如：A(0,10), B(1,3), C(4,6), D(7,9)。按開始時間最早選 A，則只能選 1 個。但選 B, C, D 可以選 3 個。
• 按持續時間最短排序： 可能會選取很多短活動，但它們可能恰好位於一個長活動的時間段內，導致長活動無法被選取，而選取長活動可能是更優的。例如：A(0,3), B(4,7), C(0,7)。按持續時間最短選 A 和 B (各3小時)，共 2 個。但選 C (7小時) 也是 1 個。如果 C 是 (0,10)，而 A(1,2), B(3,4), E(5,6), F(7,8), G(9,10)，選 C 只有 1 個，選其他可以有 5 個。
• 按重疊最少排序： 計算每個活動與其他活動的重疊數量，然後選擇重疊最少的。這個計算本身就很複雜，而且局部重疊最少不一定導致全局最優。

因此，「按結束時間最早排序」的貪心策略之所以有效，是因為它盡快地釋放出資源（時間），為後續盡可能多的活動留出空間。每選擇一個活動，都是在保證當前選擇是「安全」的（不排除最優解）前提下，讓剩餘問題的可用時間段盡可能早地開始。